Contoh Soal Deret Geometri dan Pembahasannya

1. Jika Un suku ke-n dari sutu deret geometri dengan U₁ = x^1/3 dan U₂ = x^1/2, maka suku ke lima dari deret tersebut adalah

a. x³
b. x²
c. x^-2
d. x^-1
e. x
jawab :
r = U₂/U₁ = x^1/2 : x^1/3 = x ^(1/2-1/3) = x^1/6
U₅ = a. (r)4
U₅ = x^1/3 . x^4/6
U₅ = x ^6/6 = x (jawaban e)

2. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a^-4 dan a^x. Jika suku kedelapan adalah a⁵², maka berapa nilai x?
a. -32
b. -16
c. 12
d. 8
e. 4

jawab:
U₁ = a^-4, U₂ = a^x maka r = U₂/U₁ = a^x/a^-4 = a^x+4 (ingat sifat eksponen)
U8 = a.(r)⁷
a⁵² = a^-4 (a^x+4)⁷
a⁵² = a^-4 a^7x+28
a⁵² =  a^7x+24
52 = 7x+24
7x = 28
x = 4 (jawaban e)

3. Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4^-n. Maka jumlah tak hingga deret tersebut sama dengan

a. 3
b. 2
c. 1
d.1/2
e. 1/3

jawab :
Un = 4^-n dari persamaan ini sobat dapat menentukan
a = U₁ = 4^-1, U2 = 4^-2
r = U₂/U₁ = 4^-2/4^-1 = 4^-1 = 1/4
S_n→∞ = a/[1-r] =  1/4 : [1-1/4] = 1/4 : 3/4 = 1/4 x 4/3 = 1/3 (jawaban e)

4. Suku-suku suatu barisan geometri takhingga adalah positif, jumlah suku U1+U2 = 45dan U3+U4 = 20, maka berapa jumlah suku-suku dalam barisan tersebut?

a. 65
b. 81
c. 90
d. 135
e. 150

jawab :
diketahui :
* U₁ + U₂ = 45
→ a + ar = 45
→ a (1+r) = 45 _{………….. (1)}
* U₃ + U₄ = 20
→ ar² + ar³ = 20
→ r² a(1+r) = 20 _……..(2)
kita substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)
r² (45) = 20
r² = 20/45 =4/9
r = 2/3 atau -2/3
karena suku-suku deret geometrinya diketahui positif maka r = 2/3
kita bisa menentukan nilai a
a (1+2/3) =45
a x 5/3 = 45
a = 45 x 3/5
a = 27
dengan dimikian jumlah suku-suku barisan geometri hingga tersebut adalah
S = a/1-r = 27/ (1-2/3) = 27 : 1/3 = 27 x 3 = 81 (jawaban b)

5. Jika jumlah takhingga deret a + a⁰ + a^-1 + a^-2 + a^-3 + … adalah 4a, maka nilai a adalah 

a. 4/3
b. 2
c. 3/2
d. 3
e. 4

jawab :
deret dalam soal di atas adalah deret geometri dengan
suku pertama (a) = a
r = 1/a dan S = 4a kita masukkan ke rumus
S = a/[1-r] 4a = a/[1-1/a] 4a = a²/[a-1] 4a [a-1] = a²
4a² – 4a = a² (masing-masing ruas di kali 1/a)
4a – 4 = a
3a = 4
a = 4/3 (jawaban a)

6. Contoh soal deret geometri selanjutnya adalah : Coba sobat hitung amati gambar bujur sangkar di bawah. Jika gambar tersebut diteruskan berapa total jumlah luasnya?

a. 2a²
b. 3a²
c. 4a²
d. 5a²
e. tak hingga

jawab :
Luas I = a x a = a²
Luas II =  1/2 a²
Luas III = 1/4 a²
dan seterusnya, dari deret geometri di atas terlihat nilai suku awal = a² dan rasio = 1/2
S_n→∞ = a/[1-r] = a²/0,5 = 2a²

7. Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka panjang tali semula adalaha. 183 cm
b. 185 cm
c. 187 cm
d. 189 cm
e. 191 cm

Pembahasan dari soal di atas sobat bisa mengetahui suku awal = 3 dan U₆ = 96
U_n = a.r^n-1
96 = 3.r⁵
r⁵ = 32
r = 2
S₆ = a (1-r⁶)/ 1-r
S₆ = 3 (1-2⁶)/ 1-2 = -189/-1 = 189 cm (jawaban d)

8. Sobat hitung berjalan lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama 1 jam pertama. Pada jam kedua kecepatan dikurangi menjadi setengahnya, demikian seterusnya, setiap jam kecepatan mejadi setengah dari kecepatan jam sebelumnya. Berapa km jarak terjauh yang dapat sobat hitung capai?

a. tak tentu
b. tak hingga
c. 8 km
d. 10 km
e. 13 km

Jawab :
jarak yang ditempuh oleh sobat membentuk deret geometri 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ….
a = 4
b = 1/2
_n→∞ = a/[1-r] = 4/ [1-1/2] = 4/0,5 = 8 km

9. Sobat hitung punya tiga buah bilangan. Tiga buah bilangan tersebut berurutan yang berjumlah 12 dan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga ditambah 2, maka diperoleh deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah?a. 0 atau 24
b. 0 atau 48
c. 12 atau 24
d. 24 atau 36
e. 36 atau 48

jawab :
deret aritmatika : U₁ + U₂ + U₃ = 12
misalkan U₁ = a-b ; U₂ = a ; U₃ = a+b
U₁ + U₂ + U₃ = 12
a-b + a + a+b = 12
3a = 12 maka a kita dapat 4
kemudian deret geometri
a-b, a, a+b+2  merupakan deret geometri
4-b, 4, 6+brasio  = rasio
4/4-b = 6 + b/4 (kita kali silang)
4 x 4 = (4-b) (6+b)
16 = 24-2b-b²
b²+2b+16-24 = 0
b²+2b-8 =0
(b+4) (b-2) = 0
b = -4 atau b = -2
untuk b = -4 maka bilangan dalamb barisan aritmatika tersebut adalah 8,4,0
hasil kalinya = 0
untuk b = 2 maka bilangan dalam barisan aritmatika tersebut adalah 2,4,6
hasil kalinya = 48 jadi jawabannya adalah  b

10. Carilah suku ke 8 dari barisan di bawah ini

   a) 2,4,8,16,32,...    b) 2,1,1/2,1/4,1/8,...

11. Diketahui barisan geometri dengan U3 = 27 dan U5 = 243. Berapakah 6 suku pertama deret tersebut?

Solusi :
. a) U1 = 4                U8 = U1 . r8-1 = 2 . 27  =  2 . 128 = 256

        U2 = 2

         r = U2 : U1

           = 4 : 2

            = 2

    b) U2 = 1                  U8 = U1 .r8-1 = 2 . (1/2)7 =  2 x 1/128 = 1/64

        U1 = 2

         r = U2 : U1

           = 1 : 2

           = 1/2
 U3 = a .r3-1   = a . r2 = 27                          27 = U1 . (3)3-1

    U5 = a .r5-1   = a . r4 = 243                        27 = U1 . 32

                                                                       27 = U1 . 9

   U5/U3 = a . r4 / a . r2 = 243/27              

    r2 = 9                                                            U1 = 27 : 9 = 3

    r = 3

    S15 = 3 ( 36 - 1) / 3-1 = 3 (729-1) / 2 = 3 (728) /2 = 1092

12. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah …

A. 840

B. 660

C. 640

D. 630

E. 315

PEMBAHASAN :

un = a + (n – 1)b

u3 = a + 2b = 36 … (i)

u5 + u7 = 144

(a + 4b) + (a + 6b) = 144

2a + 10b = 144 (kalikan ½)

a + 5b = 72 … (ii)

dari (i) dan (ii) diperoleh :

a + 5b = 72

(36 – 2b) + 5b = 72

3b = 36 => b = 12

Kemudian substitusi nilai b ke salah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh :

a = 36 – 2b = 36 – 2(12) = 12

Setelah nilai a dan b kita dapatkan, kemudian kita mencari nilai dari S10 :

Sn=  (2a + ( n – 1 )b)

S10 =  (2(12) + ( 10 – 1 )12)

   = 5 (24 + (9)12)

   = 5 (24 + 108)

   = 5 (132) = 660

JAWABAN : B

13. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah … buah

A. 60

B. 65

C. 70

D. 75

E. 80

PEMBAHASAN :

u2 = a + b = 11 … (i)

u4 = a + 3b = 19 … (ii)

substitusi persamaan (i) ke persamaan (ii), maka diperoleh :

(11 – b) + 3b = 19

           2b = 8 => b = 4

Kemudian substitusi nilai b tersebut salah satu persamaan (misal persamaan (i)) sehingga menjadi :

a = 11 – b = 11 – 4 = 7

Setelah nilai a dan b kita peroleh, kemudian substitusi nilai tersebut ke rumusnya :

Sn=  (2a + (n – 1)b)

S5 =  (2(7) + (5 – 1)4)

  = (14 + (4)4)

=  (14 + 16)

  = (30) = 75

JAWABAN : D

14. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap.Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan kedua Rp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah …

A. Rp. 1.315.000,00

B. Rp. 1.320.000,00

C. Rp. 2.040.000,00

D. Rp. 2.580.000,00

E. Rp. 2.640.000,00

PEMBAHASAN :

u1 = a = Rp. 50.000,00

u2 = Rp. 55.000,00

u3 = Rp. 60.000,00

b = u2 – u1 = Rp. 55.000,00 – Rp. 50.000,00 = Rp. 5.000,00

2tahun = 24 bulan, jadi n = 24

Sn=  (2a + (n – 1)b)

S24 =  (2(50.000) + (24 – 1)5.000)

   = 12 (100.000 + 23(50.000))

   = 12 (100.000 + 115.000)

   = 12 (215.000) = 2.640.000

JAWABAN : E

15. Dari suatu deret aritmetika diketahui u3 = 13 dan u7 = 29. Jumlah dua puluh lima suku pertama deret tersebut adalah …

A. 3.250

B. 2.650

C. 1.625

D. 1.325

E. 1.225

PEMBAHASAN :

u3 = a + 2b = 13 … (i)

u7 = a + 6b = 29 … (ii)

substitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi :

(13 – 2b) + 6b = 29

            4b = 16 => b = 4

Kemudian nilai b disubstitusi ke salah satu persamaan (misal persamaan (i)), sehingga diperoleh:

a = 13 – 2b = 13 – 2(4) = 5

Sn=  (2a + (n – 1)b)

S25 =  (2(5) + (25 – 1)4)

=  (10 + (24)4)

=  (10 + 96)

=  (106)

   = 25.53 = 1.325

JAWABAN : D

16. Suku ke – n suatu deret aritmetika un = 3n – 5. Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut adalah …

A. Sn = n/2 (3n – 7)

B. Sn = n/2 (3n – 5)

C. Sn = n/2 (3n – 4)

D. Sn = n/2 (3n – 3)

E. Sn = n/2 (3n – 2)

PEMBAHASAN :

Rumus untuk jumlah suku pertama ke-n barisan aritmatika adalah Sn = (2a + (n – 1)b) atau Sn =  (a + un). Karena suku ke-n atau un diketahui, maka kita gunakan rumus yang kedua untuk mencari rumus jumlah suku pertama ke-n.

un = 3n – 5

u1 = 3(1) – 5 = -2

Sn=  (a + un)

=  (-2 + 3n – 5)

=  (3n – 7)

JAWABAN : A

17. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn=  (5n – 19). Beda deret tersebut adalah …

A. -5

B. -3

C. -2

D. 3

E. 5

PEMBAHASAN :

S1 =  (5(1) – 19) = -7

S1 = u1 = a = suku pertama

S2 = latex \frac{2}{2}$ (5(2) – 19) = -9

S2 = u1 + u2 = a + (a + b)

   = -7 + (-7 + b) = -9

                 b = -9 + 14 = 5

JAWABAN : E

18. Empat buah bilangan positif membentuk barisan aritmatika. Jika perkalian bilangan pertama dan keempat adalah 46, dan perkalian bilangan kedua dan ketiga adalah 144, maka jumlah keempat bilangan tersebut adalah …

A. 49

B. 50

C. 60

D. 95

E. 98

PEMBAHASAN :

u1.u4 = a(a + 3b) = a2 + 3ab = 46 … (i)

u2.u3 = (a + b)(a + 2b) = a2 + 3ab + 2b2 = 144 … (ii)

subsitusi (i) ke (ii), sehingga menjadi:

a2 + 3ab + 2b2 = 46 + 2b2 = 144

           2b2 = 98

            b2 = 49 => b = 7

substitusi nilai b ke persamaan (i) :

a2 + 3a(7) = 46

a2 + 21a – 46 = 0

(a + 23)(a – 2) = 0

a = -23 atau a = 2

untuk a = -23

S4 =  (2(-23) + (4 – 1)7)

   = 2(-26 + 21)

   = 2(-5) = 10

untuk a = 2

S4 =  (2(2) + (4 – 1)7)

   = 2(4 + 21)

   = 2(25) = 50

JAWABAN : B

19. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalahSn = n2 + 5/2 n. Beda dari deret aritmetika tersebut adalah …

A. -11/2

B. -2

C. 2

D. 5/2

E. 11/2

PEMBAHASAN :

Sn = n2 + 5/2 n

S1 = (1)2 + 5/2 (1) = 7/2

S1 = u1 = a

S2 = (2)2 + 5/2 (2) = 9

S2 = u1 + u2 = a + (a + b)

9 = 7/2 + (7/2 + b)

9 – 7 = b

    2 = b

JAWABAN : C

20. Dari deret aritmetika diketahui suku tengah 32. Jika jumlah n suku pertama deret itu 672, banyak suku deret tersebut adalah …

A. 17

B. 19

C. 21

D. 23

E. 25

PEMBAHASAN :

ut = ½(a + un) = 32

a + un = 32(2)

a + un = 64

Sn=  (a + un)

672 =  (64)

672 = n (32)

21 = n

JAWABAN : C

21.

Sebuah mobil dibeli dengan hargaRp. 80.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah dipakai 3 tahun ?

A. Rp. 20.000.000,00

B. Rp. 25.312.500,00

C. Rp. 33.750.000,00

D. Rp. 35.000.000,00

E. Rp. 45.000.000,00

PEMBAHASAN :

Kata kuncidalam soal ini adalah “Setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya”, ini artinya rasionya 3/4 dan termasuk dalam deret geometri.

Yang jadi pertanyaannya adalah suku ke-4 dengan a = 80.000.000

u4 = ar3 = 80.000.000(3/4)3 = 33.750.000

JAWABAN : C

22. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …

A. 65m

B. 70m

C. 75m

D. 77m

E. 80m

PEMBAHASAN :

Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret tak hingga)

Dalam deret tak hingg aini, yang menjadi suku pertama ya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

Pantulan pertama = 10 x ¾ = 30/4 m (suku pertama)

 =

    =

=  = 30

P.Lintasan = 10 + 2(30) = 70m

JAWABAN : B

23. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing–masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6cm dan potongan tali terpanjang sama dengan 384cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah … cm.

A. 378

B. 390

C. 570

D. 762

E. 1.530

PEMBAHASAN :

u1 = a = 6

u7 = ar6 = 384

6.r6 = 384

r6 = 64 => r = 2

Sn =

S7 =

=  = 762

JAWABAN : D

24. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi semula.Pematulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m.

A. 100

B. 125

C. 200

D. 225

E. 250

PEMBAHASAN :

Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah

Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret  tak hingga)

Dalam deret tak hingga ini, yang menjadi suku pertama nya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).

Pantulan pertama = 25 x 4/5 = 20m (suku pertama)

 =

    =

=  = 100

P.Lintasan = 25 + 2(100) = 225m

JAWABAN : D